Introduction aux équations différentielles
Les sources utilisées seront :
- Le polycopié d’Anne-Laure Dalibard du module 2M310 (P)
- Le livre Equations différentielles et systèmes dynamiques de John Hubbard et Beverly West (B)
- Le livre Équations différentielles pour débutants de Jean-Baptiste Hiriart-Urruty.
Plan du cours semaine par semaine :
- Introduction
- Définitions et généralités (équation différentielle, ordre, autonome, scalaire/vectorielle)
- Mise sous la forme d’une équation vectorielle du 1er ordre d’une équation différentielle d’ordre n.
- Énoncé de Cauchy-Lipschitz pour les équations du 1er ordre y’=f(t,y), avec f globalement Lipschitz en la deuxième variable (démonstration en fin de semestre).
- Équations différentielles scalaires du 1er ordre linéaires x’=p x + q
- technique de résolution.
- Théorème d’existence et unicité pour l’équation homogène.
- Détermination de solutions particulières par la méthode des coefficients indéterminés dans des cas particuliers (B, Section 2.1 pp 55)
- principe de superposition
- Méthode de la variation de la constante pour déterminer une solution particulière en toute généralité (B Section 2.2)
- Exponentielles de matrices (P. 2.1.3) * Définition * Propriétés algébriques et analytiques
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Exponentielles de matrices * Méthodes de calculs. Rappels de réduction d’endomorphismes * Résolution de l’équation différentielle vectorielle homogène à coefficients constants.
- Équations différentielles linéaires à coefficients constants * Adaptation de la méthode de la variation de la constante * Cas particulier d’une équation différentielle scalaire d’ordre n à coefficients constants. * Traitement complet d’un exemple
- Modèles d’évolution de population * retour rapide sur l’équation y’=ay et y’=ay-by^2 * Modèle proie/prédateur avec l’équation de Lotka-Voltera (portrait de phase, quantité conservé, périodicité, effet de la pêche, friction sociale)
- Démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz global à l’aide du théorème du point fixe de Picard.
Feuilles d’exercice : 1 2 3 4 5
Sujet de la première session 2016 et son corrigé
Sujet de la deuxième session 2016
Sujet de la première session 2017 et un commentaire
Sujet de la première session 2018 et un corrigé avec des remarques générales.
Partiel de mars 2019 avec son corrigé et des commentaires.