Voici une preuve de la loi forte des grands nombres, lorsque les variables aléatoires sont dans $L^2$.

Théorème

Soit $(\mathrm{\Omega },\mathcal{𝒯},\mu )$ un espace mesuré, soient ${(X_i)}_{i\in N}$ des fonctions intégrables définies de $\mathrm{\Omega }$ dans $R$, de carrés intégrables. On suppose que pour tout $i,j$, $i\ne j$, ${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{\mathrm{\Omega }}{X}_{i}d\mu =0$, ${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{\mathrm{\Omega }}{X}_i^{2}d\mu =1$ et ${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{\mathrm{\Omega }}{X}_i{X}_{j}d\mu =0$; alors :

Preuve

$\bullet$ Par l’inégalité de Markov,

$\mu \left(\left|\frac{1}{m}{\mathrm{\sum \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^m{X}_i\right|>𝜀\right)\le \frac{1}{m^2{𝜀}^2}E({(\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->X_i)}^2)$

$E({(\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->X_i)}^2)=E({\mathrm{\sum \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i,j}{X}_i{X}_j)=E(\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->X_i^2)+2E({\mathrm{\sum \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i<j}{X}_i{X}_j)=m$

$donc\mu \left(\left|\frac{1}{m}{\mathrm{\sum \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^m{X}_i\right|>𝜀\right)\le \frac{1}{m{𝜀}^2}$

$\bullet$ On veut appliquer le lemme de Borel-Cantelli, mais $\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\frac{1}{m}=+\infty$. Remplaçons $m$ par $m^2$.

Comme $\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\frac{1}{m^2}<+\infty$, le lemme de Borel-Cantelli montre que

presque partout, $\forall <!--FUNCTION\; APPLICATION-->𝜀>0,\exists <!--FUNCTION\; APPLICATION-->M\in N,\forall <!--FUNCTION\; APPLICATION-->m\ge M,\left|\frac{1}{m^2}{\mathrm{\sum \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^{m^2}{X}_i\right|<𝜀$.

On en déduit, en prenant $𝜀=1∕K,K\in N^{\ast }$,

$\bullet$ Soit $n\in N$. Soit $m$ la partie entière de $\sqrt{n}$. On a : $m^2\le n\le {(m+1)}^2-1$

On utilise à nouveau le lemme de Borel-Cantelli.

Comme $\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\frac{1}{n^{3∕2}}<+\infty$, on en déduit que

Remarques

– L’hypothèse $\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->X_{i}d\mu =0$ est une hypothèse de centrage.

– Si les $X_i$ sont centrées et que la suite des ${(X_i)}_{i\in N}$ est stationnaire, on peut remplacer les hypothèses sur les $X_i$ par une condition dite de "corrélations sommables" :

– Lorsque $(\mathrm{\Omega },\mathcal{𝒯},\mu )$ est un espace probabilisé, et que les $X_i$ ne sont pas centrés, on peut remplacer les hypothèses sur les $X_i$ par une hypothèse de “décorrélation” :

La moyenne des $X_i$ converge alors presque surement, dès que la moyenne des $E(X_i)$ converge, et ces deux moyennes sont égales. C’est l’énoncé classique de la loi des grands nombres pour des variables aléatoires $L^2$.

– Lorsque $(\mathrm{\Omega },\mathcal{𝒯},\mu )$ est un espace probabilisé, et que les $X_i$ sont des fonctions bornées par une constante $C$, on peut simplifier la seconde partie de la preuve en utilisant la majoration : $\left|{\mathrm{\sum \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=m^2+1}^n{X}_i\right|\le C(n-m^2)\le 2C\sqrt{n}$

Voici un corollaire de la loi forte des grands nombres, qui s’obtient en considérant des fonctions de la forme $1_A(X_i)$.

Corollaire

Soient $(\mathrm{\Omega },\mathcal{𝒯},\mu )$ un espace probabilisé, ${(X_i)}_{i\in N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes équidistribuées, et $A\in R$ un borélien. Alors, pour presque tout $\omega \in \mathrm{\Omega }$,

Remarquons pour terminer, qu’il est possible d’obtenir une vitesse dans la loi des grands nombres lorsque les variables aléatoires sont dans $L^2$. Il suffit de remplacer $𝜀$ par $n^{-0,2}𝜀$ dans la preuve du théorème pour obtenir :

La normalisation optimale est en fait en $\frac{1}{n^{1∕2+𝜀}}$ ; c’est une application du théorème des trois séries, mais cela ne semble pas pouvoir se déduire de la preuve donnée plus haut.