Quaternions et rotations

Yves Coudene 09/03

J’explique brièvement comment employer les quaternions pour étudier les rotations de $R^{3}$ . Les démonstrations sont laissées en exercice.

1 Quaternions

Soit $C = R + i^{'} R$ l’ensemble des nombres complexes. On considère les matrices de $M_{2} (C)$ suivantes, appelées matrices de Pauli :

1 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), σ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{2} = (\begin{matrix} 0 & - i^{'} \\ i^{'} & 0 \end{matrix}), σ_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Ces matrices obéissent aux règles de commutation suivantes :

\forall i, j, σ_{i} σ_{j} = - σ_{j} σ_{i} s i i \neq j; \forall i, σ_{i}^{2} = 1 .

Théorème :
Les matrices $1, σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}, σ_{1} σ_{2}, σ_{2} σ_{3}, σ_{3} σ_{1}, σ_{1} σ_{2} σ_{3}$ forment une base de l’ensemble des matrices 2x2 à coeﬃcients complexes, $M_{2} (C)$ .

L’algèbre $M_{2} (C)$ se décompose donc en :
– un espace vectoriel de dimension 3, $E = V e c t (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3})$ ; un vecteur $\vec{a} \in E$ s’écrit $\vec{a} = a_{1} σ_{1} + a_{2} σ_{2} + a_{3} σ_{3}$ ;
– une sous-algèbre de dimension 4, $H = V e c t (1, σ_{1} σ_{2}, σ_{2} σ_{3}, σ_{3} σ_{1})$ ;
– un sous-espace de dimension 1 engendré par $σ_{1} σ_{2} σ_{3}$ .

On pose $i = σ_{1} σ_{2} σ_{3} = i^{'} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ . On a bien $i^{2} = - 1$ . On a également :
$σ_{1} σ_{2} = i σ_{3}, σ_{2} σ_{3} = i σ_{1}, σ_{3} σ_{1} = i σ_{2}$ . Attention : $i \notin H$ .

Par conséquent, tout élément de $H$ peut se mettre sous la forme :

q = α + i \vec{a}, α \in R, \vec{a} \in E .

La loi de composition induite sur $H$ par le produit matriciel peut se réécrire :

(α + i \vec{a}) (α^{'} + i {\vec{a}}^{'}) = α α^{'} + i (α {\vec{a}}^{'} + α^{'} \vec{a}) - \vec{a} {\vec{a}}^{'}

a v e c \vec{a} {\vec{a}}^{'} = \vec{a} | {\vec{a}}^{'} + i \vec{a} \times {\vec{a}}^{'}, | p r o d . s c a l a i r e, \times p r o d . v e c t o r i e l .

Remarques : $i$ commute avec les vecteurs de E. Le produit de deux vecteurs de $E$ donne un élément de H. Enﬁn le carré d’un vecteur est égal au carré de sa norme.

On pose : $\bar{q} = α - i \vec{a}$ et on vériﬁe la formule : $q \bar{q} = α^{2} + a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ . Tout élément non nul de $H$ est donc inversible. Le corps H est appelé corps des quaternions. Il vient d’ être construit comme sous-algèbre de $M_{2} (C)$ .

2 Rotations

La construction précédente peut être utilisée pour étudier les rotations de $R^{3}$ .

Pour cela, on remarque que l’exponentielle de matrices se restreint aux quaternions :

e^{i \vec{a}} = 1 + i \vec{a} - 1 ∕ 2 ∥ \vec{a} ∥^{2} + . . . = \cos ∥ \vec{a} ∥ + i \frac{\vec{a}}{∥ \vec{a} ∥} \sin ∥ \vec{a} ∥ .

en posant $∥ \vec{a} ∥^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ , pour $\vec{a} \in E$ . En particulier le quaternion $e^{i \vec{a}}$ est de norme 1.

Théorème:
Soit $\vec{a} \in E$ un vecteur unitaire et $𝜃$ un nombre réel. La rotation d’axe dirigé par $\vec{a}$ et d’angle $𝜃$ est donnée par :

\begin{matrix} E & \to & E \\ \vec{x} & \to & e^{- \frac{1}{2} i 𝜃 \vec{a}} \vec{x} e^{\frac{1}{2} i 𝜃 \vec{a}} \end{matrix}

Ceci se vériﬁe en décomposant $\vec{x}$ selon un vecteur proportionnel à $\vec{a}$ et un vecteur orthogonal à $\vec{a}$ . Un calcul direct redonne l’expression classique des rotations :

e^{- \frac{1}{2} i 𝜃 \vec{a}} \vec{x} e^{\frac{1}{2} i 𝜃 \vec{a}} = \cos 𝜃 \vec{x} + (1 - \cos 𝜃) (\vec{x} | \vec{a}) \vec{a} + \vec{a} \times \vec{x} \sin 𝜃 .

De là, il est facile de composer les rotations. On obtient, par exemple , une expression pour le cosinus de l’angle $ω$ de la rotation composée d’une rotation d’angle $𝜃$ d’axe $\vec{a}$ suivie d’une rotation d’angle $φ$ d’axe $\vec{b}$ :

e^{- \frac{1}{2} i ω \vec{u}} = e^{- \frac{1}{2} i φ \vec{b}} e^{- \frac{1}{2} i 𝜃 \vec{a}}

$e^{- \frac{1}{2} i ω \vec{u}} = \cos (ω ∕ 2) - i \vec{u} \sin (ω ∕ 2)$
$e^{- \frac{1}{2} i φ \vec{b}} e^{- \frac{1}{2} i 𝜃 \vec{a}} = (\cos (φ ∕ 2) - i \vec{b} \sin (φ ∕ 2)) (\cos (𝜃 ∕ 2) - i \vec{a} \sin (𝜃 ∕ 2))$

$= \cos (φ ∕ 2) \cos (𝜃 ∕ 2) - \vec{a} | \vec{b} \sin (φ ∕ 2) \sin (𝜃 ∕ 2) . . .$

$. . . - i (\vec{b} \sin (φ ∕ 2) \cos (𝜃 ∕ 2) + \vec{a} \cos (φ ∕ 2) \sin (𝜃 ∕ 2) + \vec{b} \times \vec{a} \sin (φ ∕ 2) \sin (𝜃 ∕ 2)) .$
Donc

\cos \frac{1}{2} ω = \cos \frac{1}{2} φ \cos \frac{1}{2} 𝜃 - (\vec{a} | \vec{b}) \sin \frac{1}{2} φ \sin \frac{1}{2} 𝜃 .

Exercices :
– Montrer que le groupe des quaternions de norme 1 s’identiﬁe à $S U_{2} (C)$ .
– Expliciter le morphisme de $S U_{2} (C)$ dans $S O_{3} (R)$ donné par le théorème plus haut. Quel est son noyau ?
– Démontrer l’égalité : $(\vec{x} \times \vec{y}) \times \vec{z} = (\vec{z} | \vec{x}) \vec{y} - (\vec{z} | \vec{y}) \vec{x}$ par un calcul direct avec les quaternions.
– Soit $\vec{u}$ un vecteur unitaire. A quoi correspond la transformation de $E$ donnée par $\vec{x} \mapsto - \vec{u} \vec{x} \vec{u}$ ?
– Montrer que l’application $\vec{a} \mapsto e^{i \vec{a}}$ , déﬁnie de $E$ dans l’ensemble des quaternions de norme 1, est surjective. Est-ce un morphisme ?

Référence : G. Casanova, Que-sais-je ? 1657 “L’algèbre vectorielle”.