L’intégrale ${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^N\frac{\sin <!--FUNCTION\; APPLICATION-->t}{t}dt$ tend vers $\pi ∕2$ lorsque $N$ tend vers l’ infini. Quitte à faire quelques calculs, on peut obtenir un développement asymptotique complet :

${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^N\frac{\sin <!--FUNCTION\; APPLICATION-->t}{t}dt={\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^N({\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }{e}^{-tx}dx)\sin <!--FUNCTION\; APPLICATION-->tdt={\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }{\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^N{e}^{-tx}\sin <!--FUNCTION\; APPLICATION-->tdtdx$

L’intégrale ${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^N{e}^{-tx}\sin <!--FUNCTION\; APPLICATION-->tdt$ se calcule explicitement à l’aide des complexes :

On obtient donc :

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^N\frac{\sin <!--FUNCTION\; APPLICATION-->t}{t}dt& =& \frac{\pi }{2}-{\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }\frac{e^{-Nx}}{1+x^2}(\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->N+x\sin <!--FUNCTION\; APPLICATION-->N)dx,v=Nx\\ & =& \frac{\pi }{2}-\frac{\cos <!--FUNCTION\; APPLICATION-->N}{N}{\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }\frac{e^{-v}}{1+\frac{v^2}{N^2}}dv-\frac{\sin <!--FUNCTION\; APPLICATION-->N}{N^2}{\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }\frac{v{e}^{-v}}{1+\frac{v^2}{N^2}}dv\\ \end{array}$

On utilise maintenant le développement en série de $\frac{1}{1+x^2}$ , dont le reste est explicite :
$\frac{1}{1+\frac{v^2}{N^2}}={\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{k=0}^K(-\frac{v^2}{N^2}{)}^k+\frac{(-\frac{v^2}{N^2}{)}^{K+1}}{1+\frac{v^2}{N^2}}$ ,

${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }\frac{e^{-v}}{1+\frac{v^2}{N^2}}dv={\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{k=0}^K\frac{{(-1)}^k}{N^{2k}}\underset{=(2k)!}{\underbrace{{\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }{v}^{2k}{e}^{-v}dv}}+\frac{1}{N^{2k+2}}\underset{\left|\right|\le (2K+2)!}{\underbrace{{\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }\frac{{(-v^2)}^{K+1}{e}^{-v}}{1+\frac{v^2}{N^2}}dv}}$

${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }\frac{e^{-v}}{1+\frac{v^2}{N^2}}dv={\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{k=0}^K\frac{{(-1)}^k}{N^{2k}}(2k)!+o(\frac{1}{N^{2K}})$
${\mathrm{\int \; <!--nolimits-->}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_0^{\infty }\frac{v{e}^{-v}}{1+\frac{v^2}{N^2}}dv={\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{k=0}^K\frac{{(-1)}^k}{N^{2k}}(2k+1)!+o(\frac{1}{N^{2K}})$

Résultat :

Ce développement illustre les points suivants :
– utilisation de la transformée de Laplace ;
– calcul d’intégrales réelles en passant dans le domaine complexe ;
– fonction Gamma ;
– obtention d’une asymptotique en mettant l’expression à évaluer sous la forme d’une intégrale dépendant d’un paramètre ;
– obtention d’un reste sous forme intégrale, ce qui permet d’obtenir des équivalents, mais aussi des encadrements.
Enfin pour finir, il faut remarquer que la série obtenue est divergente.