On note R^N l'ensemble des suites reelles indexees par les entiers naturels. Sur cet espace, la topologie produit est metrisable et transforme R^Z en un espace metrique separable complet. Il n'est pas localement compact. (il est cependant presque localement compact : etant donne une mesure finie sur R^N, il existe une union denombrable de compacts de mesure pleine ; c'est une consequence de la regularite de la mesure.)
Le lemme 3 est encore vrai pour une fonction phi qui est a valeurs dans un espace metrique separable complet. On prend pour phi l'application de [0,1] dans R^N donnee par x -> {f_i(x)}. L'application phi realise donc un isomorphisme mesurable de ([0,1],mu) sur (phi([0,1]),phi(mu)), ou encore sur (R^N,phi(mu)). Il s'agit donc de montrer que les polynomes en les coordonnees sont denses dans L^p(R^N,phi(mu)). Mais le theoreme de Stone-Weierstrass affirme que ces polynomes sont denses dans C(R^N) pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts, donc a fortiori pour la convergence simple, ou pour la convergence L^p, sur le compact [inf f_0,sup f_0]x[inf f_1,sup f_1]x[inf f_2,sup f_2]x... lorsque les f_i sont bornes.
Theoreme :
La tribu associee a phi est composee des ensembles
de S qui sont unions de lignes de niveau de phi.
C'est une consequence de la correspondance
de Rokhlin. Cela implique egalement le theoreme de
Stone-Weierstrass mesurable ; il suffit de prendre
pour phi l'application a valeurs dans R^N constituee
par les {f_i}.
l'application phi, definie de [0,1] vers {0,1}^N dans le lemme 5, passe au quotient et donne une application injective et mesurable de X/~ sur son image, qui est de mesure pleine dans {0,1}^N. L'image d'un ensemble mesurable par cette application est en fait mesurable ; c'est le contenu du lemme 5. L'espace X/~ est donc isomorphe a {0,1}^N muni d'une mesure borelienne. C'est un espace de lebesgue.
Bishop, Errett
A generalization of the Stone-Weierstrass theorem
[J] Pac. J. Math. 11, 777-783 (1961).
Soit X un espace compact, C(X) l'algebre des fonctions continues a valeurs reelles sur X, munie de la norme uniforme. Une relation d'equivalence sur X est dite fermee si l'ensemble {(x,y) | x~y} est ferme dans le produit cartesien de X par X. X/~ est separe pour la topologie quotient ssi ~ est fermee (cf Godbillon, topologie algebrique).
Une sous-topologie T de la topologie de X est dite localement compacte si pour tout ouvert O de T et tout point x dans O, on peut trouver un ouvert(de T) contenant x et dont l'adherence (pour T) est contenue dans O.
Theoreme :
Soit X un espace compact. On a correspondance entre :
- Les sous-algebres fermees de C(X)
- Les quotients separes de X
- Les relations d'equivalence fermees sur X
- Les sous-topologies localement compactes de X
Une reference pour diverses generalisations du theoreme d'approximation de Stone-Weierstrass est :
Prolla, J.B.
Weierstrass - Stone, the Theorem, Verlag Peter Lang, 1993.
On y trouve plusieurs criteres concernant la densite uniforme des polynomes dans C(X), lorsque X n'est pas compact.
Lorsqu'on regarde les fonctions a valeurs complexes, la situation est plus compliquee. L'exemple est donne par les fonctions sur le cercle, qui sont restriction de fonctions continues sur le disque ferme, holomorphes a l'interieur. C'est une sous-algebre de C(S^1) qui separe les points mais qui n'est pas dense. Soit A une sous-algebre fermee des fonctions continues a valeurs complexes, definie sur X compact. E. Bishop montre que X peut etre partitionne de facon a ce que la restriction de A a chaque element de la partition est antisymetrique : les seules fonctions a valeur reelles qui appartiennent a une telle restriction sont les constantes.
The classical moment problem as a self-adjoint
finite difference operator,
Advances in Math. 137 (1998), 82-203
Le fichier postscript est disponible a l'adresse :
http://www.math.caltech.edu/papers/bsimon/pslist.html
La proposition 4.15 de cet article affirme que les polynomes sont denses dans L^2(R,rho) ssi rho est une solution de type Von Neumann (Nevanlinna extremal dans la terminologie de Akhiezer). C'est le cas en particulier si la mesure est uniquement determinee par ses moments.
Ce resultat se generalise a un espace de Lebesgue : A est dense dans L^2(X,m) si on peut trouver une famille denombrable f_i dans A qui separe les points, et telle que les mesures f_i(m), images de m par f_i, soient de type Von Neumann. Ce critere est suffisant, mais probablement pas necessaire
La preuve est similaire a celle contenue dans l'article paru dans la gazette. Le fait que les f_i soient bornes n'est utilise que dans le Lemme 1 de cet article. Cette hypothese permet de remplacer les f_i par des fonctions indicatrices. La preuve consiste a approcher les fonctions indicatrices 1_[a,b] definies sur R, par des polynomes, au sens de la norme L^2(R, f_i(m)). Ce qui est possible precisement lorsque les f_i(m) sont de type Von Neumann.
Le probleme de la densite des polynomes dans L^2(R^n,m), n>1, m mesure de proba, est relie au probleme des moments a plusieurs variables ; celui-ci est nettement plus difficile que le probleme a une variable et fait l'objet d'un certain nombre d'articles recents.
Fuglede, Bent
The multidimensional moment problem.
[J] Expo. Math. 1, 47-65 (1983).
donne des conditions necessaire et suffisantes, en terme d'operateurs, pour que les polynomes soient denses dans L^2(R^n,m), m mesure de probabilite sur R^n. Cependant, cela ne lui permet pas de demontrer que la determination de la mesure par ses moments implique la densite des polynomes. Cette derniere question est toujours citee comme un probleme ouvert dans le livre
Moments in mathematics
Congres; San Antonio TX; 1987
Providence RI : American Mathematical society
Finalement, Berg et Thill repondent a la question par la negative :
Berg, Christian; Thill, Marco
Rotation invariant moment problems.
[J] Acta Math. 167, No.3/4, 207-227 (1991).
Ils montrent en particulier qu'une mesure m sur R^n, n>1,invariante par rotation, est determinee fortement si et seulement si les polynomes sont denses dans L^2(R^n,m). La situation est donc tres differente du cas n=1. A partir de la, divers criteres, dans divers cadres, ont ete donnes. A ma connaissance, les derniers progres sensibles sur le sujet se trouvent dans un article de
Putinar, Vasilescu,
Solving moment problems by dimensional extension
Ann. of Math. (2) 149 (1999) n3, 1087-1107
http://www.emis.de/journals/Annals/149_3/putinar.pdf
Enfin, voila les references de deux articles de synthese sur le sujet, disponible sur la page web de l'auteur.
http://www.math.ku.dk/~berg/
Berg, Christian
Moment problems and polynomial approximation.
[J] Ann. Fac. Sci. Toulouse, VI. Ser., Math. Spec. Iss.,
9-32 (1996).
Berg, Christian
Recent results about moment problems.
[CA] Heyer, Herbert (ed.), Probability measures on groups
and related structures. XI. Proceedings of the meeting
held in Oberwolfach, Germany,October 23-29, 1994.
Singapore: World Scientific Publishing. 1-13(1995).
[ISBN 981-02-2273-4]
Le probleme des moments est indexe dans la
classification AMS : 44A60 Moment problems
Cela ne montre pas que la restriction de l'action aux composantes ergodiques est ergodique. Pour cela, il faut faire appel a des theoremes ergodiques (Chacon-Ornstein pour une action d'un groupe polonais) cf par exemple :
Greschonig, Gernot; Schmidt, Klaus Ergodic decomposition of quasi-invariant probability measures. Dedicated to the memory of Anzelm Iwanik. Colloq. Math. 84/85 (2000), , part 2, 495--514.
ou bien etendre l'action a un compact puis faire appel a la theorie de la representation de Choquet.
Jacobs, K.
Lecture notes on ergodic theory, 1962/63. Parts I, II.
Matematisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus 1963
Part I: vii pp.1--207; Part II: pp. 208--505.
Le bord de Poisson d'un groupe polonais G (ie localement compact séparable complet) peut etre defini a l'aide de ces notions d'espace de Lebesgue et de partitions mesurables.
Pour cela, on considère l'espace G^N des trajectoires possibles pour la marche aleatoire ; on considere deux probabilites sur G, theta probabilite initiale et mu probabilite de transition. A partir de ces probabilites, on construit sur G^N une probabilite mu_theta en considerant l'image de theta X mu X mu X mu ... par l'application :
(x_0,h_1,h_2,h_3,...) -> (x_0,x_1,...x_n...)
x_n = x_0 h_1 h_2 h_3...h_n
Le bord de Poisson est défini comme l'ensemble des composantes ergodiques de l'action du decalage sur (G^N, mu_theta). C'est donc le quotient de G^N par la partition mesurable associee aux fonctions invariantes par le decalage ; cette partition est la partition mesurable la plus fine contenant la partition en orbites induite par le decalage sur G^N. Le bord de Poisson est muni de la mesure image de mu_theta par la projection de G^N sur le bord.
Le groupe G agit sur G^N par multiplication coordonnée par coordonnée ; cette action commute au decalage ; elle passe donc au quotient. Ceci définit une action naturelle de G sur le bord de Poisson.
Il est possible de généraliser le théorème de Stone-Weierstrass L^p
dans plusieurs directions.
Le cas des mesures de Baire sur les espaces localement compacts est traité par :
Farrell, R. H. Dense algebras of functions in $L\sb{p}$. Proc. Amer. Math. Soc. 13 1962 324--328.
Cater, S. Algebras of bounded functions in $L\sb{p}$. Duke Math. J. 30 1963 595--603.
Une version "réticulée" est donnée par :
Nagel, Rainer J. A Stone-Weierstrass theorem for Banach lattices. Studia Math. 47 (1973), 75--82.
cf aussi :
Rao, M. M. Stone-Weierstrass theorems for function spaces. J. Math. Anal. Appl. 25 1969 362--371.
Yves Coudene
1/2/2002