Séries de Fourier : Quelques images

Le principe des séries de Fourier est d'écrire une fonction f(x) périodique de période 2π (pour fixer les idées) comme une somme infinie

On peut voir la fonction f comme un signal périodique, et chaque terme de cette somme infinie correspond alors à la partie du signal qui a une fréquence de 2π/n. Les termes correspondant à n grand sont donc les termes de hautes fréquence.

Ce qu'il est important de comprendre est que plus les hautes fréquences sont importantes dans un signal, plus ce dernier est irrégulier. Cela se traduit sur la décomposition en série de Fourier par le fait que plus une fonction varie régulièrement, plus ses coefficients décroissent rapidement.

En pratique, on veut être capable de bien approcher une fonction périodique donnée par une somme partielle de sa série de Fourier, c'est à dire par une expression de la forme

(on remarquera que la somme ne va pas jusqu'à l'infini). Quand N tend vers l'infini, on obtient la vraie valeur de f. La question qui se pose alors est de trouver une valeur N pour laquelle l'approximation ci-dessus est raisonnable. Autrement dit, on se demande quelle est la vitesse de la convergence.

Au vu de la discussion précédente, on sait que plus une fonction est régulière, plus ses hautes fréquences seront petites. Autrement dit, plus une fonction est régulière, plus les sommes partielles seront proches de la fonction à approcher.

Voici quelques exemples en images pour illustrer ce fait :

• Une convergence lente : une fonction creneau. La fonction est discontinue, et on voit des problèmes de convergence près des discontinuités (appelés phénomène de Gibbs). Ici les coefficients de Fourier sont de l'ordre de 1/n.
  
• Une convergence plus rapide : une fonction continue, en dents de scie. Cette fonction est une primitive de la précédente, ses coefficients de Fourier se déduisent donc des précédents essentiellement en les divisant par n, ce qui donne des coefficients de Fourier de l'ordre de 1/n² (voir cette feuille d'exercice, exercice 4). La fonction est bien approchée par la somme partielle.
  
• Une convergence très rapide : la fonction est très régulière, les coefficients de Fourier décroissent comme e^-n. Il suffit de prendre une valeur de 5 ou 6 pour N pour ne pas voir de différence à l'œil nu entre la fonction et son approximation.
  

Un exemple de fonction continue qui n'est pas dérivable, construite comme limite d'une suite de fonctions construites de manière itérative. On part de la fonction f₀ de [0,1] dans [0,1] définie par f₀(x)=x, puis on obtient la fonction f_n+1 à partir de f_n en posant

• f_n+1(x)=(2/3)f_n(3x), si x est dans [0,1/3].
• f_n+1(x)=(1/3)f_n(2-3x)+1/3, si x est dans [1/3,2/3].
• f_n+1(x)=(2/3)f_n(3x-2)+1/3, si x est dans [2/3,1].

La suite de fonctions f_n converge vers une limite qui, bien que continue, n'admet de dérivée en aucun point. Ce procédé itératif est illustré sur l'animation suivante :

À chaque étape, les portions du graphe qui sont des lignes droites sont remplacées par des lignes brisées ("en éclairs").

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