2M231 - Probabilités et Statistiques Elémentaires

Déroulement des cours - Jussieu

23/01/2019 - Cours 1 : théorie des ensembles, applications, cardinal, dénombrements. (Sections: 1.1, 1.2, 1.3)
24/01/2019 - Cours 2 : dénombrabilité, espace probabilisé, tribus, mesures de probabilité, exemples généraux et propriétés (Sections 1.4, 2.1, 2.2, 2.3).
31/01/2019 - Cours 3 : propriétés de continuité des probabilités, probabilités sur un ensemble fini ou dénombrable, liens avec la combinatoire, événements indépendants, tribus engendrées, examples: deux dés (Sections 2.4.1, 2.4.2, 2.5)
07/02/2019 - Cours 4 : Jeux de pile ou face fini et infini; probabilités conditionnelles; formule de causes; formule de Bayes; exemples.
14/02/2019 - Cours 5 : Variables aléatoires réelles: définition; propriétés; exemples. Loi d'une variable aléatoire; variables aléatoires discrètes; fonction de répartition. Exemples de lois/v.a. discrètes: Bernoulli, géométrique.
21/02/2019 - Cours 6 : Exemples de v.a. discrètes: binomiale, Poisson. Espérance des v.a. discrètes, propriétés, formule de transfert. Variables aléatoires discrètes de carré intégrable, second moment, variance.
28/02/2019 - Cours 7 : Exemples de calculs de variance. Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebyshev, écart type. Fonctions génératrices: définition, application au calcul de moments, exemples; la fonction génératrice caractérise la loi. Espérance: cas général. Variables aléatoires à densité: définition, exemples (uniforme, exponentielle, normale). Espérance d'une variable aléatoire à densité; exemples (uniforme)
07/03/2019 - Cours 8 : Exemples d'espérance de v.a. à densité: exponentielle, normale centrée réduite. Formule de transfert pour les v.a. à densité: calculs de variances, exemples. Calcul de loi de variables aléatoires à densité par la formule de transfert; exemples. Indépendance de v.a.: définition, exemple, espérance du produit de variables aléatoires. Vecteurs aléatoires.
14/03/2019 : Partiel
21/03/2019 - Cours 9 : Vecteurs aléatoires: loi, formules de transfert, loi marginales, l'ensemble des lois marginales ne caractérise pas la loi du vecteur. Cas des vecteurs de variables aléatoires indépendantes. Loi d'une somme de variables aléatoires; loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes. Exemples: somme de géométriques indépendantes, somme de Poisson indépendantes, somme d'exponentielles indépendantes, somme de Gaussiennes ${\cal N}(0,1)$ indépendantes. Utilisation des fonctions génératrices pour la loi des sommes de v.a. indépendantes. Variance d'une somme de variables aléatoires, covariance, cas des sommes de variables aléatoires indépendantes.
28/03/2019 - Cours 10 : Convergence de variables aléatoires: convergence presque sûre, convergence en probabilité. La convergence en presque sûre implique la convergence en probabilité; la convergence en probabilité n'implique pas la convergence presque sûre. Exemple: maximum d'uniformes indépendantes. Loi faible des grands nombres. Loi forte des grands nombres. L'hypothèse d'indépendance est cruciale.
04/04/2019 - Cours 11 : Loi forte des grands nombre, cas $L^4$. Théorème central limite. Convergence en loi. Convergence des fonctions de répartition. Fonctions caractéristiques: cas discrets et à densités, exemples.
11/04/2019 - Cours 12 : Applications des fonctions caractéristiques: exemples, calculs de moments, liens avec la convergence en loi. Exemples de convergences en loi. Preuve du théorème central limite.

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29/01/2019 - Cours 1 : théorie des ensembles, applications, cardinal, dénombrements. (Sections: 1.1, 1.2, 1.3)
30/01/2019 - Cours 2 : dénombrabilité, espace probabilisé, tribus, mesures de probabilité, exemples généraux et propriétés, propriétés de continuité des probabilités (Sections 1.4, 2.1, 2.2, 2.3).
05/02/2019 - Cours 3 : probabilités sur un ensemble fini ou dénombrable, liens avec la combinatoire, événements indépendants, tribus engendrées, examples: deux dés, jeu de pile ou face fini (Sections 2.4.1, 2.4.2, 2.5)
12/02/2019 - Cours 4 : Jeu de pile ou face infini; probabilités conditonnelles; formule des causes; formule de Bayes; exemples.
13/02/2019 - Cours 5 : Variabales aléatoires réelles: définition; propriétés; exemples. Loi d'une variable aléatoire; variables aléatoires discrètes; fonction de répartition. Exemples de lois/v.a.: Bernoulli, géométrique.
19/02/2019 - Cours 6 : Exemples de lois discrètes: binomiale, Poisson. Variables aléatoires à densité: définition, exemples (uniforme, exponentielle, normale). Espérance des variables aléatoires discrètes: définitions, propriétés, exemple (binomiale, uniforme), énoncé de la formule de transfert.
26/02/2019 - Cours 7 : Preuve de la formule de transfert; exemple. Espérance: cas général, v.a. de carré intégrable, variance, exemples. Fonctions génératrices: définition, calcul de moments, exemples; la fonction génératrice caractérise la loi.
05/03/2019 - Cours 8 : Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebyshev, écart type. Espérance des variables aléatoires à densité, exemples. Formule de transfert pour les v.a. à densité, calcul de variance. Application au calcul de loi de variables aléatoires à densité; exemples. Indépendance de variables aléatoires, espérance du produit de variables aléatoires indépendantes.
13/03/2019 - Cours 9 : Vecteurs aléatoires: loi jointe, lois marginales, vecteur aléatoire discret, vecteur aléatoire à densité. Lois des vecteurs à composantes discrètes; densité des marginales d'un vecteur à densité. Loi d'une somme de variables aléatoires: cas discret, cas de variables aléatoires discrètes indépendantes. Exemples: somme de géométriques indépendantes, somme de variables aléatoires de Poisson indépendantes; fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
14/03/2019 : Partiel
19/03/2019 - Cours 10 : Densité de vecteurs aléatoire à composantes indépendantes. Critères d'indépendance. Sommes de variables aléatoires à densité indépendantes: loi, exemple (somme de deux exponentielles indépendantes). Variance de somme de variables aléatoires: covariance, cas général, cas des sommes de variables aléatoires indépendantes. Convergence de variables aléatoires: convergence presque sûre, convergence en probabilité.
26/03/2019 - Cours 11 : La convergence en presque sûre implique la convergence en probabilité; la convergence en probabilité n'implique pas la convergence presque sûre. Exemple: maximum d'uniformes indépendantes. Loi faible des grands nombres. Loi forte des grands nombre; preuve dans le cas $L^4$. Convergence dans $L^1$; la convergence dans $L^1$ implique la convergence en probabilité; la convergence en probabilité n'implique pas la convergence dans $L^1$.
09/04/2019 - Cours 12 : Théorème central limite. Convergence en loi, convergence en loi et fonctions de répartition, énoncé alternatif du théorème central limite. Fonctions caractéristiques: exemples, calculs de moments, liens avec la convergence en loi. Preuve du théorème central limite.
13/04/2019 - Revisions :

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