Organisation Générale

Planning général : y compris les salles, voir ici

Amphis :

  • mardis de 10:45 à 12:45
  • jeudis de 13:45 à 15:45

    • TDs : Assurés par

    • Emmanuel Schertzer (groupe A)
    • Quentin Berger (groupe B)
    • Camille Tardif (groupe C)

    Partiel: 2h, jeudi 25 octobre

    Examen Final: 3h, semaine du 7 au 11 janvier

    Déroulement des Cours

    • 11 septembre 2018 : Présentation du cours. Rappels I: tribus, mesures, fonctions mesurables/variables aléatoires, lois, espérance, indépendance.
    • 13 septembre 2018 : Rappels II: indépendance, classes monotones. Espérance conditionnelle I: intuition, définition, unicité, existence (Radon-Nikokym).
    • 18 septembre 2018 : Espérance conditionnelle II: propriétés importantes, cas des variables positives. (Sections 4.1, 4.2)
    • 20 septembre 2018 : Espérance conditonnelle III: fin du cas des variables positives, conditionnement par rapport à une variable aléatoire, espérance conditonnelle comme projection orthogonale, exemples de calculs (discret + absolument continu). (Sections 4.2, 5, 6, 7.1 et 7.2)
    • 25 septembre 2018 : Espérance conditionnelle IV: exemples de calculs (absolument continu); cas des vecteurs gaussiens; Martingales I: Filtrations; martingales/sous-martingales/surmartingales; martingale fermée; fonctions de martingales. (Chap 1, Sect 7.2 et 7.3 et Chap 2, Sect 1)
    • 27 septembre 2018 : Martingales II: inegalité de Azuma-Hoeffding; exemple du nombre chromatique des graphes aléatoires; temps d'arrêt; temps d'atteinte; tribu engendrée par un temps d'arrêt (des événements antérieurs) et propriétés. (Chap 2, Sect 2)
    • 2 octobre 2018 : Martingales III: Théorème d'arrêt (cas temps d'arrêt bornés); inégalité maximale; inégalité de Kolmogorov; inégalité $L^p$ de Doob. (Chap 2, Sect 3)
    • 4 octobre 2018 : Martingales IV: Convergence p.s. des sous-martingales; processus prévisibles; intégrale stochastique discrète et interprêtation en termes de jeux; Convergence p.s. des surmartingales positives; exemples (processus de branchement, marche aléatoire arrétée). (Chap 2, Sect 4)
    • 9 octobre 2018 : Martingales V: Convergence dans $L^p$, $p>1$; intégrabilité uniforme (définition, examples, contre-example, propriétés équivalentes); condition nécessaire et suffisante pour la convergence dans $L^1$; convergence dans $L^1$ des sous-martingales. (Chap 2, Sect 4.2 et 4.3)
    • 11 octobre 2018 : Pas de cours. Rattrapé en décembre.
    • 16 octobre 2018 : Martingales VI: Ruine du joueur, convergence des martingales fermées, équivalence u.i. / convergence dans $L^1$ / fermée pour les sous-martingales ; processus de branchement. (Chap 2, Sect 4.4, 5, et 6.1)
    • 18 octobre 2018 : Martingales VII: Théorème d'arrêt (cas u.i.), décomposition de Doob; martingales à accroissement borné et application au Lemme de Borel-Cantelli de Lévy; convergence dans $L^1$ des martingales multiplicatives; martingales inverses et application à la loi forte des grands nombres. (Chap 2, Sect 6 à 9)
    • 23 octobre 2018 : Chaines de Markov I: Définition; exemples; construction des chaines de Markov sur $([0,1], {\mathscr B}([0,1]), \operatorname{Leb})$ (Chap 3, Sect. 1 à 3)
    • 25 octobre 2018 : Partiel.
    • 6 novembre 2018 : Chaines de Markov II: Chaine de Markov canonique (construction sur $E^{\mathbb N}$; propriété de Markov (Chap 3, Sect 3)
    • 8 novembre 2018 : Chaines de Markov III: Propriété de Markov forte; classification des états (transient, récurrent); fonction de Green et lien avec la recurrence/transience. (Chap 3, Sect 3 et 4)
    • 13 novembre 2018 : Chaines de Markov IV: Décomposition de l'ensemble des états récurrents en classes d'équivalences; exemple (Section 4, suite)
    • 15 novembre 2018 : Chaines de Markov V: Irréductibilité; exemples (marches aléatoires sur $\mathbb Z$, marche aléatoire simple sur les graphes, processus de branchement); mesure invariante. (Chap 3, Sect 4 et 5)
    • 20 novembre 2018 : Chaines de Markov VI: mesures invariantes, reversibilité, existence et unicité des mesures invariantes.
    • 22 novembre 2018 : Chaines de Markov VII: Recurrence positive/recurrence nulle, lien avec l'existence d'une mesure invariante finie; comportement asymptotique (Chap 3, Sections 5 et 6)
    • 27 novembre 2018 : Chaines de Markov VIII: Comportement asymptotique, loi des grands nombres, période, apériodicité, convergence de $Q^n(x,\cdot)$.
    • 29 novembre 2018 : Chaines de Markov IX: convergence en variation totale, fonctions $Q$-harmoniques, lien avec les martingales, extension harmonique, problème de Dirichlet discret.
    • 4 décembre 2018 : Marches aléatoires sur les graphes et réseaux électriques I Equivalence marche sur un graphe/chaine de Markov reversible, potentiel, courant, flot, loi d'Ohm, loi des noeuds, loi des cycles, interprêtation du potentiel, resistance équivalente.
    • 6 décembre 2018 : Marches aléatoires sur les graphes et réseaux électriques II Fonction de Green, interprêtation du courant, résistance équivalente vers l'infini, lien entre la récurrence/transience, énergie.
    • 11 décembre 2018 : Marches aléatoires sur les graphes et réseaux électriques III

    Documents pédagogiques

    Le polycopié de Zhan Shi

    Le polycopié de Thomas Duquesne (2011-2012)

    Notes sur les relations entre chaînes de Markov reversible et réseaux électriques. (d'après Lyons-Peres, 2017)

    Les feuilles d'exercices

    Le sujet de l'examen du 8 janvier 2019 (imprécisions corrigées) et le corrigé (beaucoup plus détaillé que ce que j'attendais)

    Références

    1. P. Billingsley. Probability and Measure. Wiley, New York, 1995.
    2. L. Breiman. Probability. Addison-Wesley, Reading, 1968.
    3. R.M. Dudley. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
    4. R. Durrett. Probability: Theory and Examples Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
    5. G.R. Grimmett and D.R. Stirzaker. Probability and Random Processes. Second edition. Oxford University Press, Oxford, 2001.
    6. O. Häggström. Finite Markov Chains and Algorithmic Applications. Cambridge University Press, 2002.
    7. O. Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Second edition, Springer, New York, 2002.
    8. R. Lyons and Y. Peres. Probability on Trees and Networks. Cambridge University Press, 2017.
    9. J.R. Norris. Markov Chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
    10. W. Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw Hill, New York, 1986.
    11. D. Williams. Probability with Martingales. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.