Articles et prépublications

Résumé : Sur une variété complète à courbure négative, nous montrons que le mélange faible est une propriété générique dans l'ensemble de toutes les mesures de probabilité invariantes par le flot géodésique, dès que le flot est topologiquement faiblement mélangeant en restriction à son ensemble non errant.

Abstract : Given a complete manifold of negative curvature, we show that weak mixing is a generic property in the set of all probability measures invariant by the geodesic flow, as soon as the flow is topologically weakly mixing in restriction to its non-wandering set.

Résumé : Nous montrons comment modifier le dernier terme de la somme partielle d'une série alternée de façon à obtenir une majoration sur la limite, meilleure que celle obtenue par la méthode standard de troncation. La preuve repose sur une inégalité surprenante.

Abstract : We show how to modify the last term of the partial sum of an alternating series so as to get an upper bound on the limit better than the standard one obtained by truncation. The proof relies on a surprising inequality.

Résumé : Nous montrons que l'argument de Hopf donne le mélange de tout ordre pour une large classe de systèmes dynamiques exhibant une forme faible d'hyperbolicité (pas d'hypothèse de compacité ni de régularité). Ceci donne une preuve simple d'un certain nombre de résultats classiques, et peut s'appliquer plus largement en raison de la faiblesse des hypothèses.

Abstract : We show that using only weak hyperbolicity (no smoothness, compactness or exponential rates) the Hopf argument produces multiple mixing in an elementary way. While this recovers classical results with far simpler proofs, the point is the broader applicability implied by the weak hypotheses. Some of the results can also be viewed as establishing ''mixing implies multiple mixing'' outside the classical hyperbolic context.

Résumé : Nous étudions les mesures de probabilité invariantes par le flot géodésique défini sur le fibré unitaire d'une variété connexe complete de courbure négative ou nulle. Moyennant une hypothèse technique, nous montrons que l'ergodicité est une propriété générique dans l'ensemble des mesures de probabilité invariantes par le flot et supportées par les géodésiques ne bordant pas un plat. Ce résultat est obtenu en montrant que les mesures de Dirac associées aux orbites périodiques sont denses dans cet ensemble.
Dans le cas d'une surface compacte, nous montrons que le résultat est optimal : l'ergodicité est une propriété générique si et seulement si il n'y a pas de plat.
Finalement, nous montrons sous certaines hypothèses que génériquement, les mesures de probabilités invariantes sont d'entropie nulle et ne sont pas mélangeantes.

Abstract : We study the generic invariant probability measures for the geodesic flow on connected complete nonpositively curved manifolds. Under a mild technical assumption, we prove that ergodicity is a generic property in the set of probability measures defined on the unit tangent bundle of the manifold and supported by trajectories not bounding a flat strip. This is done by showing that Dirac measures on periodic orbits are dense in that set.
In the case of a compact surface, we get the following sharp result: ergodicity is a generic property in the space of all invariant measures defined on the unit tangent bundle of the surface if and only if there are no flat strips in the universal cover of the surface.
Finally, we show under suitable assumptions that generically, the invariant probability measures have zero entropy and are not strongly mixing.

Résumé : Ces notes présentent quelques résultats concernant le mélange du flot géodésique défini sur une variété à courbure négative ou nulle. On présente en particulier une démonstration du résultat suivant dû à M. Babillot : sur le fibré unitaire d'une surface compacte dont la caractéristique d'Euler est négative, le flot géodésique est mélangeant relativement à la mesure d'entropie maximale.

Abstract : These notes describe a few results concerning the mixing of the geodesic flow defined on a nonpositively curved manifold. We give a proof of the following result, due to M. Babillot: on the unit tangent bundle of a compact surface with negative Euler characteristic, the geodesic flow is mixing with respect to its measure of maximal entropy.

Résumé : Cet article est consacré à la dynamique du flot géodésique sur les variétés à courbure négative ou nulle. Après avoir détaillé quelques résultats de dynamique topologique, on étudie les propriétés ergodiques du flot géodésique sur les variétés de rang un, de trois points de vue différents : d'abord relativement à la mesure riemannienne, ensuite par une approche entropique, enfin par des techniques de généricité.

Abstract : This article is devoted to the dynamics of the geodesic flow on non negatively curved manifolds. We detail some results related to topological dynamics, before studying the ergodic properties of the flow on rank one manifolds, from three different viewpoints: first with respect to the riemannian measure, then with the tools of entropy theory, last by using genericity technics.

Résumé : On construit des exemples de surfaces compactes de rang un sur lesquelles il existe des géodésiques récurrentes qui ne peuvent pas être pistées par des géodésiques périodiques. On donne des exemples de surfaces compactes de rang un telles que les mesures ergodiques, définies sur le fibré unitaire de la surface, ne sont pas denses dans l'ensemble de toutes les mesures de probabilité invariantes. Enfin, on construit des surfaces complètes de rang un telles que l'ensemble non-errant du flot géodésique est connexe, les orbites périodiques sont denses dans cet ensemble, mais le flot n'est pas transitif en restriction à cet ensemble.

Abstract : We give examples of rank one compact surfaces on which there exist recurrent geodesics that cannot be shadowed by periodic geodesics. We build rank one compact surfaces such that ergodic measures on the unit tangent bundle of the surface are not dense in the set of probability measures invariant by the geodesic flow. Finally, we give examples of complete rank one surfaces for which the non wandering set of the geodesic flow is connected, the periodic orbits are dense in that set, yet the geodesic flow is not transitive in restriction to its non wandering set.

Résumé : Nous construisons des exemples de surfaces à courbure négative de volume infini, sur lesquelles tous les horocycles sont récurrents. Ces exemples reposent sur le résultat suivant : si le rayon d'injectivité le long d'une géodésique n'est pas minoré, alors l'horocycle associé est récurrent.

Abstract : We give examples of negatively curved surfaces of infinite volume, on which all horocycles are recurrent. These examples rely on the following result: if the injectivity radius along a geodesic is not bounded from below, then the associated horocycle is recurrent.

Résumé : Considérons le flot géodésique sur une variété complète connexe à courbure négative. Nous montrons que l'ensemble des mesures de probabilité boreliennes contient un sous-ensemble G-delta dense composé de mesures ergodiques dont le support coincide avec l'ensemble non-errant. Le cas des espaces de rang un est aussi traité, et nous mettons en place quelques outils pour étudier les systèmes hyperboliques définis sur des espaces non compacts.

Abstract : We consider the geodesic flow on a complete connected negatively curved manifold. We show that the set of invariant borel probability measures contains a dense G_delta-subset consisting of ergodic measures fully supported on the non-wandering set. We also treat the case of non-positively curved manifolds and provide general tools to deal with hyperbolic systems defined on non-compact spaces.

Résumé : Nous montrons l'unique ergodicité du flot horocyclique associé aux flots d'Anosov admettant une distribution stable unidimensionnelle. Cette preuve dynamique très courte s'étend au cas partiellement hyperbolique.

Abstract : We give a short dynamical proof of the unique ergodicity of the horocyclic flow associated to an Anosov flow with one dimensional orientable strong stable distribution. This proof extends to the partially hyperbolic setting.

Résumé : On montre que toute transformation d'un espace métrique qui preserve une mesure de probabilité est mélangeante, dès l'instant où les fonctions invariantes par les distributions stables et instables sont constantes. Cela généralise un résultat de M. Babillot.

Abstract : We show that any probability preserving transformation of a metric space is mixing as soon as they are no non constant L^2-functions which are invariant under both the stable and unstable distributions. This generalizes a result of M. Babillot.

Résumé : Soit X un espace métrique muni d'une mesure m, et T:X->X une transformation conservative qui préserve m. Supposons que presque tout X puisse être couvert par une famille dénombrable d'ouverts de mesure finie. Alors toutes les fonctions propres de T sont invariantes par le feuilletage stable de T.

Abstract : Let T a measure preserving transformation of a metric space X. Assume T is conservative and X can be covered by a countable family of open sets, each of finite measure. Then any eigenfunction is invariant with respect to the stable distribution of T.

Résumé : On effectue des simulations afin d'obtenir des images de certains systèmes dynamiques uniformément hyperboliques : l'attracteur dérivé d'Anosov, l'attracteur de Plykin, le fer à cheval de Smale.

Abstract : We create computer-generated pictures of the following uniformly hyperbolic systems : the attractor derived from Anosov, the Plykin attractor and a Smale horseshoe. These systems provide simple examples on which to test computer programs devoted to simulation of ``chaotic'' dynamical systems.

Résumé : On généralise le concept de point horosphérique aux flots admettant une structure de produit local. On montre ensuite que ces points ont une variété stable forte dense. Un tel résultat était auparavant connu pour les flots géodésiques définis sur les variétés à courbure négative.

Abstract : We define the concept of horospheric points for flows admitting a local product structure, and show that these points have a dense strong stable set. This generalizes a classical result from G.A.Hedlund, in the context of geodesic flows on negatively curved manifolds.

Résumé : Nous étudions les propriétés topologiques des systèmes dynamiques admettant une structure de produit local. Ces résultats sont appliqués aux systèmes hyperboliques définis sur des revêtements. Le résultat principal donne une caractérisation de la transitivité du système sur un revêtement résoluble en terme des éléments de Frobenius des orbites périodiques.

Abstract : We study topological properties of dynamical systems admitting a local product structure. The results obtained are applied to hyperbolic systems on covers. Our main theorem caracterizes transitivity on solvable covers in term of Frobenius elements of periodic orbits.

Résumé : On définit le concept de mesures de Gibbs sur le fibré unitaire d'une variété à courbure négative arbitraire. Comme conséquence, on démontre l'existence de mesures de probabilités ergodiques, relativement au flot géodésique, sur toutes les variétés à courbure négative géométriquement finies.

Abstract : We define the concept of a Gibbs measure on the unitary bundle of any negatively curved complete manifold ; as a consequence we show that if the manifold is geometrically finite with cusps, there always exists a mixing probability measure invariant by the geodesic flow and fully supported on the non-wandering set of the flow.

Résumé : Cet article est consacré à l'ergodicité du feuilletage stable de certains systèmes dynamiques admettant une structure de produit local ; ces systèmes comprennent les flots hyperboliques définis sur des revêtements nilpotents, des produits semi-directs sur des systèmes symboliques, et des flots géodésiques sur des variétés à courbure négative non compactes.

Abstract : We study ergodicity of weak and strong stable foliations of systems admitting local product structure ; these include hyperbolic flows on nilpotent covers. Subshifts of finite type and geodesic flows on negatively curved manifolds are also considered.

Résumé : On présente un théorème d'approximation pour les fonctions mesurables, analogue au théorème de Stone-Weierstrass pour les fonctions continues. Ceci permet de donner une preuve élémentaire du théorème de Rokhlin mettant en correspondance partitions mesurables et sous algèbres fermées de L⁰.

Abstract : We give an approximation result for measurable functions, similar to the Stone-Weierstrass theorem ; we then give an elementary proof of the correspondance, given by V. A. Rokhlin, between measurable partitions and closed subalgebras of L⁰.

Résumé : On considère l'extension canonique d'un flot Axiom A, défini sur une variété compacte, à un revêtement abélien de cette variété. On montre que son feuilletage stable fort est ergodique relativement au produit d'une mesure de Gibbs sur la base par la mesure de Haar sur la fibre, dès qu'il est transitif sur le support de la mesure.

Abstract : We show that the strong stable foliation of the canonical extension of an Axiom A flow to an Abelian cover of a compact manifold is ergodic with respect to the product of a Gibbs measure on the manifold times the Haar measure on the fiber, as soon as it is transitive on the support of the measure.