Copules

1.8. Copules#

Une copule est une fonction permettant de modéliser et de simuler les lois multidimensionnelles à partir de leurs marginales.

Pour comprendre la construction prenons un exemple. On souhaite simuler 3 variables aléatoires $\tau_1$, $\tau_2$ et $\tau_3$, appelées instants de défauts par la suite. L’instant de défaut $\tau_i$ représente par exemple la durée de vie d’un composant $i$ et cette durée de vie est modélisée par une loi exponentielle de paramètre $\lambda_i > 0$. Ainsi

\[\begin{equation*} \forall i \in \{ 1,2,3 \}, \quad \tau_i \sim \mathcal{E}(\lambda_i). \end{equation*}\]

On veut que les instants de défauts soient corrélés: si un composant fait défaut (tombe en panne) la durée de vie d’un autre composant est réduite. Comment simuler le vecteur $(\tau_1, \tau_2, \tau_3)$ ?

La question est donc de mettre une “structure de corrélation” entre les variables aléatoires $\tau_i$. Pour cela on a recourt aux fonction copules. Pour simuler $\tau_i$ il suffit de poser

\[\begin{equation*} \tau_i = - \frac{1}{\lambda_i} \log(U_i) \quad \text{avec $U_i \sim \mathcal{U} \big( ]0,1[ \big)$}, \end{equation*}\]

mais attention le vecteur $(U_1, U_2, U_3)$ ne doit pas être uniforme sur $]0,1[^3$, c’est à dire que les v.a. $U_i$ ne doivent pas être indépendantes sinon on aurait aussi indépendance entre les $\tau_i$. Pour construire un vecteur $(U_1, U_2, U_3)$ dont les marginales sont uniformes et les composantes corrélées on peut par exemple utiliser un vecteur gaussien $(G_1, G_2, G_3)$. En effet

\[\begin{equation*} \text{si} \quad \begin{pmatrix} G_1 \\ G_2 \\ G_3 \end{pmatrix} \sim \mathcal{N}\left( 0, \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & c \\ b & c & 1 \end{pmatrix} \right) \quad \text{alors} \quad U_i = F_{\mathcal{N}(0,1)}(G_i) \sim \mathcal{U} \big( ]0,1[ \big), \end{equation*}\]

et $\operatorname{cov}(U_i, U_j) \neq 0$ pour $i \neq j$ ($F_{\mathcal{N}(0,1)}$ est la fonction de répartition de la loi $\mathcal{N}(0,1)$).

1.8.1. Définition et résultats principaux#

Soit $d \ge 1$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbf{R}^d$. La fonction de répartition (multidimensionnelle) $F$ de $X = (X_1,\dots,X_d)$ est définie par

\[\begin{align*} F: \mathbf{R}^d & \to [0,1] \\ x = (x_1,\dots, x_d) & \mapsto \mathbf{P} \big( X_1 \le x_1, \dots, X_d \le x_d \big). \end{align*}\]

Dans la suite on note $\{X \le x\} = \{X_1 \le x_1, \dots, X_d \le x_d\}$.

Definition 1.3

Une fonction $C:[0,1]^d \to [0,1]$ est appelée copule de dimension $d \ge 2$ si $C$ est la restriction à $[0,1]^d$ de la fonction de répartition d’une variable aléatoire $U = (U_1, \dots, U_d)$ dont chaque marginale $U_i$ est de loi uniforme sur $[0,1]$ i.e.

\[\begin{equation*} \forall u \in [0,1]^d, \quad C(u) = \mathbf{P}(U \le u) \end{equation*}\]

Voici quelques propriétés d’une fonction copule.

Proposition 1.7

Soit $u \in [0,1]^d$. On a les propriétés suivantes:

pour tout $1 \le i \le d$, $C(u_1, \dots, u_{i-1}, 0, u_{i+1}, \dots, u_d) = 0$,
pour tout $1 \le i \le d$, $C(1, \dots, 1, u_i, 1, \dots, 1) = u_i$,
pour tout $1 \le i \le d$, l’application $\big(v \to C(u_1, \dots, u_{i-1}, v, u_{i+1} , \dots, u_d) \big)$ est croissante,
la fonction $C$ est Lipschitz i.e.

\[\begin{equation*} \forall u, v \in [0,1]^d, \quad |C(u) - C(v)| \le \sum_{i=1}^d |u_i - v_i|. \end{equation*}\]

Proof. Les 3 premiers points découlent directement de la définition de la fonction $C$ comme fonction de répartition d’un vecteur $(U_1, \dots, U_d)$.

Montrons le point 4. en utilisant le lemme algébrique suivant.

Lemma 1.1

Soit $(a_k)_{k \ge 1}$ et $(b_k)_{k \ge 1}$ deux suites réelles bornées par 1 i.e. $|a_k| \le 1$ et $|b_k| \le 1$. Alors

\[\begin{equation*} \left|\prod_{k=1}^n a_k - \prod_{k=1}^n b_k\right| \le \sum_{k=1}^n |a_k - b_k|. \end{equation*}\]

Soit $u, v \in [0,1]^d$, alors

\[\begin{equation*} |C(u) - C(v)| \le \mathbf{E} \Bigg[ \left| \prod_{i=1}^d \mathbf{1}_{U_i \le u_i} - \prod_{i=1}^d \mathbf{1}_{U_i \le v_i} \right| \Bigg], \end{equation*}\]

et d’après le lemme

\[\begin{equation*} |C(u) - C(v)| \le \sum_{i=1}^d \mathbf{E} \big[ \big| \mathbf{1}_{U_i \le u_i} - \mathbf{1}_{U_i \le v_i} \big| \big]. \end{equation*}\]

On conclut en remarquant que $|\mathbf{1}_{U_i \le u_i} - \mathbf{1}_{U_i \le v_i}| = \mathbf{1}_{u_i \wedge v_i < U_i \le u_i \vee v_i}$ et $\mathbf{P} \big(u_i \wedge v_i < U_i \le u_i \vee v_i \big) = |u_i - v_i|$.

Definition 1.4

Soit $X = (X_1, \dots, X_d)$ une variable aléatoire de $\mathbf{R}^d$ de fonction de répartition $F$. On note $F_i$ la fonction de répartition de la $i$-ème marginale $X_i$. Une copule pour $X$ est une copule $C$ vérifiant

\[\begin{equation*} \forall x \in \mathbf{R}^d, \quad F(x_1, \dots, x_d) = C \big( F_1(x_1), \dots, F_d(x_d) \big). \end{equation*}\]

On vérifie d’abord que l’application $\big( x \mapsto C\big( F_1(x_1), \dots, F_d(x_d) \big) \big)$ est bien une fonction de répartition d’une v.a. $X \in \mathbf{R}^d$. Soit $(U_1, \dots, U_d)$ de fonction de répartition $C$ et on pose $X = \big( F_1^{-1}(U_1), \dots, F_d^{-d}(U_d) \big)$ où $F_i^{-1}$ est l’inverse généralisée de $F_i$. Alors

\[\begin{align*} \mathbf{P} \big( X \le x \big) &= \mathbf{P} \big( F_1^{-1}(U_1) \le x_1, \dots, F_d^{-1}(U_d) \le x_d \big), \\ &= \mathbf{P} \big( U_1 \le F_1(x_1), \dots, U_d \le F_d(x_d) \big), \\ &= C\big( F_1(x_1), \dots, F_d(x_d) \big). \end{align*}\]

Le résultat important est le suivant: il indique qu’on peut toujours construire une loi multidimensionnelle à partir des lois marginales et d’une fonction copule.

Theorem 1.3 (de Sklar)

Pour tout vecteur aléatoire $X \in \mathbf{R}^d$ il existe une copule pour $X$. Si les fonctions de répartitions $F_i$ des marginales $X_i$ sont continues alors cette copule est unique.

Proof. Montrons uniquement le cas continu. Soit $X$ un vecteur aléatoire de $\mathbf{R}^d$. On note $F$ sa fonction de répartition multidimensionnelle et $F_i$ la fonction de répartition de sa $i$-ème marginale $X_i$. On pose $U_i = F_i(X_i)$. Alors si $F_i$ est continue, la variable aléatoire $U_i$ est uniforme sur $[0,1]$. On considère $C$ la fonction de répartition de $(U_1, \dots, U_d)$ alors

(1.7)#\[\begin{align} \mathbf{P} \big(X \le x \big) &= \mathbf{P} \big( X_1 \le x_1, \dots, X_d \le x_d \big), \\ &= \mathbf{P} \big(U_1 \le F_1(x_1), \dots, U_d \le F_d(x_d) \big),\\ &= C\big( F_1(x_1), \dots, F_d(x_d) \big). \end{align}\]

Par construction et continuité des $F_i$ la fonction $C$ est unique.

1.8.2. Exemples de copules#

1.8.2.1. Copule d’indépendance#

Il s’agit de la fonction de répartition $C:[0,1]^d \to [0,1]$ d’un vecteur $(U_1, \dots, U_d) \sim \mathcal{U} \big(]0,1[^d \big)$ c’est à dire

\[\begin{equation*} \forall u \in [0,1]^d, \quad C(u) = \prod_{i=1}^d u_i. \end{equation*}\]

1.8.2.2. Copule de comonoticité#

C’est la fonction $M$ définie sur $[0,1]^d$ par

\[\begin{equation*} \forall u \in [0,1]^d, \quad M(u) = \min_{1 \le i \le d} u_i. \end{equation*}\]

Il s’agit donc de la fonction de répartition du vecteur $(U_1, \dots, U_1)$. La copule de comonoticité apparait comme un cas extrème de dépendance et on a les bornes suivantes: toute copule $C$ vérifie

\[\begin{equation*} \forall u \in [0,1]^d, \quad \Big( \sum_{i=1}^d u_i - d + 1 \Big)_+ \le C(u) \le M(u). \end{equation*}\]

Ces bornes sont appelées bornes de Fréchet. On peut remarquer que dans le cas $d = 2$ la borne inférieure est la copule du vecteur $(U_1, 1-U_1)$.

1.8.2.3. Copule Gaussienne#

On considère $\phi$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et pour une matrice de corrélation $\Sigma$ donnée (avec des 1 sur la diagonale) la fonction de répartition multidimensionnelle $\Phi_{\Sigma}$ définie par

\[\begin{equation*} \forall x = (x_1, \dots, x_d), \quad \Phi_{\Sigma}(x) = \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_d} \frac{e^{-\frac{1}{2} y^t \Sigma^{-1} y}}{(2 \pi)^{d/2} \sqrt{\det(\Sigma)}} \operatorname{d}\!y_1 \dots \operatorname{d}\!y_d. \end{equation*}\]

La copule gaussienne $C_{\Sigma}$ est définie par

\[\begin{equation*} C_{\Sigma}(u) = \Phi_{\Sigma} \big( \phi^{-1}(u_1), \dots, \phi^{-1}(u_d) \big). \end{equation*}\]

Note

Il est classique de considérer la copule Gaussienne, dite à un facteur, introduite de la façon suivante. Soit $\rho$ un paramètre fixé de $]0,1[$. On pose

\[\begin{equation*} U_i = \phi \big( \sqrt{\rho} Z + \sqrt{1-\rho} G_i \big) \end{equation*}\]

où $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ et $G = (G_1,\dots, G_d) \sim \mathcal{N}(0, \operatorname{Id}_d)$ sont indépendantes. En notant $\tilde G_i = \sqrt{\rho} Z + \sqrt{1-\rho} G_i$ on vérifie que $\tilde G_i \sim \mathcal{N}(0,1)$ et que le vecteur $\big(\tilde G_1, \dots, \tilde G_d\big)$ est de covariance

\[\begin{equation*} \Sigma = A A^t = \begin{pmatrix} 1 & \rho & \cdots & \rho \\ \rho & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \rho \\ \rho & \cdots & \rho & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}\]

avec $A = \begin{pmatrix} \sqrt{\rho} & \sqrt{1-\rho} & 0 & \cdots & 0 \\ \sqrt{\rho} & 0 & \sqrt{1-\rho} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ \sqrt{\rho} & 0 & \cdots & 0 & \sqrt{1-\rho} \end{pmatrix}.$
Le vecteur $\big(U_1, \dots, U_d \big)$ a pour fonction de répartition la copule Gaussienne $C_\Sigma$.

1.8.2.4. Copules archimédiennes#

Il s’agit de toute une famille de copules qui se construisent à partir de la transformée de Laplace d’une loi sur $\mathbf{R}^+$.