1.5. Méthode du rejet#
Soit
et
On suppose qu’on sait simuler selon une loi auxiliaire
Le résultat suivant permet d’obtenir des réalisations de la loi
Theorem 1.2
Soit
Alors
Proof. Le fait que
Tout d’abord on prouve que
En utilisant la partition
Par définition
En posant
On détermine maintenant la loi conditionnelle
Le point clé est de remarquer que
En considérant la fonction
c’est à dire que la loi conditionnelle
Remark 1.1
Si on pose par récurrence, pour tout
alors la suite
1.5.1. Efficacité de la méthode du rejet#
En pratique il est important de s’intéresser à l’efficacité de la méthode du rejet. La variable aléatoire
On peut aussi s’intéresser au rendement moyen qui est défini par
Plus
1.5.2. Interprétation géométrique de la méthode du rejet#
Il est possible de faire réinterpréter le théorème précédent et de voir le temps aléatoire
Proposition 1.4
Soit
Soit
de densité et indépendante de . Alors pour tout , le couple est uniforme sur .Si
est uniforme sur alors suit la loi de densité .
Proof. 1. Soit
et par le changement de variable
On conclut en remarquant que
c’est à dire
A l’aide de cette proposition, on peut relire l’algorithme du théorème précédent Theorem 1.2 de la façon suivante:
on simule
réalisations i.i.d. uniforme suron garde les réalisations qui tombent dans