2. Méthode de Monte Carlo

La méthode de Monte Carlo est une méthode numérique qui repose sur la simulation de variables aléatoires indépendantes. Par la loi forte des grands nombres, la moyenne empirique d’un échantillon \((X_1, \dots, X_n)\) de copies de \(X \in \mathbf{L}^2(\mathbf{P})\) converge vers l’espérance \(\mathbf{E}[X]\). L’erreur se contrôle via le théorème central limite: renormalisée à la vitesse \(\sqrt{n}\) l’erreur converge en loi vers une loi normale centrée de variance \(\sigma^2 = \operatorname{var}(X)\). Ce contrôle de l’erreur permet d’établir des bornes autour de la moyenne empirique, c’est extrêmement important car on sait avec une certaine probabilité fixée (par exemple 95%) à quelle distance on se trouve de la valeur recherchée \(\mathbf{E}[X]\).

Dans cette partie on expose plusieurs méthodes permettant de réduire la variance et donc d’améliorer la qualité de la méthode de Monte Carlo. Les exemples dans ces notes de cours sont très simples mais les exemples en TP sont plus complexes et illustrent l’utilité de ces méthodes en pratique.