1. Simulation#
On commence ce cours par un théorème sans preuve!
Theorem 1.1 (Théorème fondamental de la simulation)
Toute variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^d\) (ou dans un espace polonais) peut s’écrire sous la forme \(X = \varphi(U_1, \dots, U_n)\) avec \(n \ge 1\), où \((U_1,\dots,U_n)\) est uniforme sur \([0,1]^n\) et \(\varphi\) est une fonction borélienne.
Tip
Ce résultat est un résultat d’existence de la fonction \(\varphi\) mais n’est pas constructif. Il ne permet pas de trouver la fonction \(\varphi\) permettant la simulation sous cette forme. Si \(d = 1\), la fonction \(\varphi\) est la fonction quantile.
Le résultat est admis, pour une preuve vous pouvez consulter [Bouleau and Bensoussan, 1986].
Ce théorème important indique qu’il est possible d’obtenir des réalisations de n’importe quelle variable aléatoire à partir d’une transformation d’uniformes sur \([0,1]\). La première section se consacre donc à la simulation de variables aléatoires uniformes sur \([0,1]\) (ouvert ou fermé en 0 ou 1 car la mesure de Lebesgue ne charge pas les points…).
Nicolas Bouleau and Alain Bensoussan. Probabilités de l'ingénieur: variables aléatoires et simulation. Hermann, 1986.