Cours : mardis de 16:00 à 18:00 en Amphi 56B / Amphi 55B à partir du 7 octobre
TDs : vendredis de 14:30 à 16:30 en Amphi Herpin
Déroulement des Cours
Cours 1 - 16 septembre 2025. Introduction générale au cours: où va-t-on ? Chapitre 1. Rappels sur les vecteurs gaussiens. Construction du mouvement brownien jusqu'à l'énoncé du critère de Kolmogorov (sans preuve). (jusqu'au Théorème 1.3.3)
Cours 2 - 23 septembre 2025.Fin du Chapitre 1. Preuve du critère de Kolmogorov. Existence d'une modification du mouvement brownien dont les trajectoires sont Hölder d'indice $1/2-\epsilon$ quelque soit $\epsilon>0$. Mesure de Wiener et mouvement brownien canonique. Chapitre 2. Propriétés d'invariance du MB. Pont brownien. Propriété de Markov simple. Loi du 0-1 de Bluementhal et applications: temps d'entrée dans $(0,\infty)$, temps d'atteintes tous finis, ensemble des zeros non-borné. Enoncé des propriétés du semi-groupe (arrêt à la preuve du générateur infinitésimal).
Cours 3 - 30 septembre 2015.Fin du Chapitre 2. Explication equation de la chaleur. Temps d'arrêt; tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt. Propriété de Markov forte. Propriété des temps d'atteinte. Principe de réflexion; densité de la paire $(S_t,B_t)$. Variation quadratique du mouvement brownien. Variation totale du mouvement brownien. Chapitre 3. filtration, tribu $\mathscr F_{t+}$, $\mathscr F_{t+}$-temps d'arrêt; filtration continue à droite et complète.
Cours 4 - 7 octobre 2025.Fin du Chapitre 3. Conditions habituelles. Processus mesurables, adaptés, progressifs. Temps d'arrêt, approximation des temps d'arrêt, mesurabilité des processus pris à un temps d'arrêt. Martingales: rappels en temps discret; uniforme intégrabilité et martingales fermées ; martingales arrêtées à un temps d'arrêt, théorème d'arrêt, inégalités de Doob. Applications au mouvement brownien.
Cours 5 - 14 octobre 2025.
Cours 6 - 21 octobre 2025.
Cours 7 - 4 novembre 2025.
Cours 8 - 18 novembre 2025.
Cours 9 - 25 novembre 2025.
Cours 10 - 2 décembre 2025.
Cours 11 - 9 décembre 2025.
Cours 12 - 16 décembre 2025.
Avancée des TD
TD 1 - 19 septembre 2025. Feuille 0:: Exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Pour Ex 4: argument plus simple d'UI de $(|\xi_n-\xi|)_{n\ge 1}$: avec $\|\cdot \|_p = \mathbf E[|\cdot |^p]^{1/p}$ on a
$\|\xi_n-\xi\|_{p+1} \le \|\xi_n\|_{p+1} + \|\xi\|_{p+1}$ donc $\sup_n \|\xi_n-\xi\|_{p+1}<\infty$ ce qui permet de conclure avec l'exercice 9.