Cours : mardis de 16:00 à 18:00 en Amphi 56B / Amphi 55B à partir du 7 octobre
TDs : vendredis de 14:30 à 16:30 en Amphi Herpin
Déroulement des Cours
Cours 1 - 16 septembre 2025. Introduction générale au cours: où va-t-on ? Chapitre 1. Rappels sur les vecteurs gaussiens. Construction du mouvement brownien jusqu'à l'énoncé du critère de Kolmogorov (sans preuve). (jusqu'au Théorème 1.3.3)
Cours 2 - 23 septembre 2025.Fin du Chapitre 1. Preuve du critère de Kolmogorov. Existence d'une modification du mouvement brownien dont les trajectoires sont Hölder d'indice $1/2-\epsilon$ quelque soit $\epsilon>0$. Mesure de Wiener et mouvement brownien canonique. Chapitre 2. Propriétés d'invariance du MB. Pont brownien. Propriété de Markov simple. Loi du 0-1 de Bluementhal et applications: temps d'entrée dans $(0,\infty)$, temps d'atteintes tous finis, ensemble des zeros non-borné. Enoncé des propriétés du semi-groupe (arrêt à la preuve du générateur infinitésimal).
Cours 3 - 30 septembre 2015.Fin du Chapitre 2. Explication equation de la chaleur. Temps d'arrêt; tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt. Propriété de Markov forte. Propriété des temps d'atteinte. Principe de réflexion; densité de la paire $(S_t,B_t)$. Variation quadratique du mouvement brownien. Variation totale du mouvement brownien. Chapitre 3. filtration, tribu $\mathscr F_{t+}$, $\mathscr F_{t+}$-temps d'arrêt; filtration continue à droite et complète.
Cours 4 - 7 octobre 2025.Fin du Chapitre 3. Conditions habituelles. Processus mesurables, adaptés, progressifs. Temps d'arrêt, approximation des temps d'arrêt, mesurabilité des processus pris à un temps d'arrêt. Martingales: rappels en temps discret; uniforme intégrabilité et martingales fermées ; martingales arrêtées à un temps d'arrêt, théorème d'arrêt, inégalités de Doob. Applications au mouvement brownien.
Cours 5 - 14 octobre 2025.Chapitre 4. Fonction à varations finie: mesures de Stieltjes, définition, variation totale, caractérisation, intégrale par rapport à une fonction à variation finie; processus à variation finie. Martingales locales continues: définition, propriétés simples, conditions suffisantes pour qu'une martingale locale soit une martingale, une martingale locale continu à variation finie est constante, variation quadratique d'une martingale locale (jusqu'au Théorème 4.3.1).
Cours 6 - 21 octobre 2025.Fin du Chapitre 4. Variation quadratique des martingales locales arrêtées, conditions pour qu'une martingale locale soit une vraie martingale. Crochet de deux martingales locales, approximation par les sommes de variations croisées, orthogonalité de deux martingales locales. Inégalité de Kunita-Watanabe. Semimartingales continues et leur variation quadratique.
Cours 7 - 4 novembre 2025.
Cours 8 - 18 novembre 2025.
Cours 9 - 25 novembre 2025.
Cours 10 - 2 décembre 2025.
Cours 11 - 9 décembre 2025.
Cours 12 - 16 décembre 2025.
Avancée des TD
TD 1 - 19 septembre 2025. Feuille 0:: Exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Pour Ex 4: argument plus simple d'UI de $(|\xi_n-\xi|)_{n\ge 1}$: avec $\|\cdot \|_p = \mathbf E[|\cdot |^p]^{1/p}$ on a
$\|\xi_n-\xi\|_{p+1} \le \|\xi_n\|_{p+1} + \|\xi\|_{p+1}$ donc $\sup_n \|\xi_n-\xi\|_{p+1}<\infty$ ce qui permet de conclure avec l'exercice 9.
TD 6 - 24 octobre 2025. Feuille 3: Exercices 5 et 7. Feuille 4: Exercices 4, 5, 7, 9 (à suivre pour non bornitude de $\tau=\inf\{t\ge 0: |B_t|\ge 1\}$ pour $B$ un mouvement brownien)